Obiettivi formativi
Il corso è finalizzato a introdurre i concetti di base dell'Analisi Matematica. Gli obbiettivi formativi non si esauriscono nella semplice acquisizione di strumenti di calcolo, ma pongono l'accento su una più profonda comprensione critica delle idee e del metodo di pensiero matematico. Tali obiettivi potranno essere ritenuti raggiunti se lo studente alla fine del corso avrà migliorato le proprie capacità di apprendimento degli strumenti matematici, la capacità di applicare le nozioni teoriche alla risoluzione di problemi ed esercizi in maniera autonoma, nonché quella di comunicare con chiarezza di esposizione e di pensiero i concetti appresi.
Prerequisiti
Matematica preuniversitaria di base
Contenuti dell'insegnamento
Il corso introdurrà i concetti base dell'Analisi Matematica e tratterà i seguenti argomenti:
-Richiami di nozioni base di matematica preuniversitaria
-Funzioni continue
-Limiti di funzioni e rapporti con la nozione di continuità
-Derivate di funzioni e applicazioni allo studio qualitativo dei grafici
- Integrali indefiniti e definiti
Programma esteso
-Richiami di teoria degli insiemi
-Proprietà dei numeri razionali
-Assioma di continuità (o di separazione) e proprietà dei numeri reali
- Minoranti, maggioranti, estremo inferiore e superiore di un insieme
- Richiami sulle funzioni reali: definizione di funzione iniettiva, suriettiva, invertibile e monotòna;
funzioini composte; definizione e proprietà della funzione valore assoluto; prima e seconda
disuguaglianza triangolare
-Estremo inferiore e superiore di una funzione
- Limiti di funzione: motivazione euristica, definizione rigorsa.
- Proprietà dei limiti: teoremi della somma, del prodotto e del rapporto. Problema delle forme
indeterminate
- Funzioni continue e relazione tra la nozione di limite e quella di continuità.
- Teoremi sulle funzioni continue: teoremi sulla somma, prodotto, rapporto e composizione di
funzioni continue; Teorema degli Zeri; Teorema del valor Medio; Teorema di Weierstrass
- Limiti notevoli e loro utilizzo nella risoluzione delle forme indeterminate
- Derivata di una funzione: motivazione geometrica e definizione analitica
- Esempi di funzioni non derivabili
-Rapporti tra continuità e derivabilità.
- Calcolo delle derivate di alcune funzioni elementari, mediante la definizione.
- Regole di derivazione e loro applicazione al calcolo della derivata di funzioni generali.
- Ricerca dei punti di minimo e di massimo relativo: teorema di Fermat
- Teoremi di Rolle e di Lagrange
- Conseguenze del Teoorema di Lagrange: legame tra la monotonìa di una funzione e il segno della
sua derivata prima.
- Studio della convessità/concavità di una funzione
- Studi di funzione
-Nozione di primitiva di una funzione e definizione di integrale indefinito
- Lista di integrali elementari
-Calcolo di integrali indefiniti più complessi: regole di sostituzione e di integrazione per parti
- Nozione di integrale definito come misura dell'area del sottografico della funzione
- Teorema Fondamentale del calcolo integrale e legame con gli integrali indefiniti
- Regole di sostituzione e di integrazioni per parti per integrali definiti.
Bibliografia
1) E. Acerbi, G. Buttazzo: "Matematica preuniversitaria di base". Pitagora Editrice, Bologna.
2) E. Acerbi, G. Buttazzo: "Analisi Matematica ABC". Pitagora Editrice, Bologna.
3) A. Guerraggio: "Matematica per le Scienze". Editore: Pearson
Metodi didattici
Lezioni frontali e assegnazione di esercizi per casa con lo scopo di stimolare l'acquisizione operativa dei concetti appresi in classe
Modalità verifica apprendimento
Esame scritto
Altre informazioni
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