Obiettivi formativi
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<p align="""justify"""> Il corso fornisce i concetti base del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile reale.</p>
Prerequisiti
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Conoscenze matematiche di base della scuola media superiore: elementi di teoria degli insiemi, algebra elementare, proprieta' delle potenze, logaritmi e funzione esponenziale, trigonometria, equazioni e disequazioni, elementi di geometria analitica nel piano. <br />
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Contenuti dell'insegnamento
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1. Insiemi numerici. <br />
Numeri razionali e numeri reali. Assioma di completezza di Dedekind. Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore. Proprieta' archimedea. Densita' dei razionali. Principio di induzione, disuguaglianza di Bernoulli, binomio di Newton. <br />
Calcolo combionatorio: permutazioni, disposizioni e combinazioni semplici. <br />
Numeri complessi: forma algebrica e forma trigonometrica, formula di De Moivre, radici. Il teorema fondamentale dell'algebra.<br />
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2. Successioni e serie numeriche.<br />
Limiti di successioni. Algebra dei limiti. Teorema del confronto e teorema della permanenza del segno. Successioni monotone, il numero di Nepero. Alcuni limiti notevoli. Serie convergenti, divergenti ed irregolari. Condizione necessaria per la convergenza.<br />
Serie a termini positivi: criteri del confronto, del rapporto e della radice. Serie a segni alterni: criterio di Leibnitz. Serie a termini di segno qualunque: convergenza e convergenza assoluta.<br />
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3. Limiti e continuita' per funzioni di una variabile reale.<br />
Limiti finiti ed infiniti, limiti all'infinito. Algebra dei limiti e teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Alcuni limiti notevoli.<br />
Funzioni continue. Algebra delle funzioni continue. Il teorema della permanenza del segno. Continuita' delle funzioni inverse e delle funzioni composte. Continuita' delle funzioni elementari. Funzioni continue in un intervallo: il teorema dei valori intermedi e il teorema di Weierstrass.<br />
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4. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile.<br />
Definizione di derivata e suo significato geometrico. Regole di derivazioni e derivate delle funzioni elementari. I teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange e loro conseguenze. Derivate successive. Formula di Taylor con resto di Peano e Lagrange. Massimi e minimi relativi. Funzioni convesse. Calcolo di primitive: primitive di funzioni razionali e le regole di integrazione per parti e per sostituzione.<br />
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5. Calcolo integrale per funzioni di una variabile.<br />
Definizione di integrale di Riemann e suo significato geometrico. Proprieta' dell'integrale definito. Integrtabilita' delle funzioni contiune. Teorema della media e teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali generalizzati. Relazione tra serie ed integrali generalizzati.</p>
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Programma esteso
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Bibliografia
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E. Acerbi -- G. Buttazzo, Analisi Matematica ABC, Vol. 1, Pitagora, Bologna (2003) <br />
<p>D. Mucci, Analisi Matematica - Esercizi 1, Pitagora, Bologna (2004) </p>
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Metodi didattici
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Modalità verifica apprendimento
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Altre informazioni
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