Obiettivi formativi
RAGGIUNGIMENTO DELLE CONOSCENZE DI BASE DI ANALISI MATEMATICA PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE.
Prerequisiti
<br />NON SONO RICHIESTI PREREQUISITI.<br />LA PARTE PRELIMINARE: CALCOLO ALGEBRICO, GEOMETRIA ANALITICA, LOGICA E E INSIEMISTICA, FUNZIONI, E' SVOLTA NEL CORSO DEL PRIMO SEMESTRE.
Contenuti dell'insegnamento
<br />PRELIMINARI: CALCOLO ALGEBRICO ELEMENTARE. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI PRIMO E SECONDO GRADO. POLINOMI: QUOZIENTE, CALCOLO SECONDO LE POTENZE DECRESCENTI; ALGORITMO DI RUFFINI. FATTORIZZAZIONE DI POLINOMI. DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E FRATTE. <br /><br />GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO: PIANO CARTESIANO, COORDINATE E DISTANZE FRA PUNTI. EQUAZIONI DELLA RETTA E CONDIZIONI DI PASSAGGIO, PARALLELISMO E ORTOGONALITÀ. EQUAZIONI DELLA PARABOLA ELLISSE ED IPERBOLE. <br /><br />LOGICA E INSIEMISTICA: PROPOSIZIONI, CONNETTIVI LOGICI, TABELLE DI VERITÀ, PREDICATI, QUANTIFICATORI. DEFINIZIONI E PROPRIETÀ FONDAMENTALI DI INSIEMISTICA. <br /><br />FUNZIONI: DEFINIZIONE INIETTIVITÀ E SURIETTIVITÀ. FUNZIONE BIIETTIVA E SUA INVERSA. GRAFICO. IMMAGINE E RETROIMMAGINE, RESTRIZIONE E COMPOSIZIONE. <br /><br />FUNZIONI MONOTONE. FUNZIONI PARI E DISPARI.VALORE ASSOLUTO: DISUGUAGLIANZE TRIANGOLARI E DISEQUAZIONI. POTENZE E RADICI: PROPRIETÀ DELLE POTENZE, EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE SENO,COSENO E TANGENTE: FORMULE. DISEQUAZIONI E FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE. ESPONENZIALE E LOGARITMO: EQUAZIONI E DISEQUAZIONI. GRAFICI DI FUNZIONI DIPENDENTI DAL VALORE ASSOLUTO.<br /><br />NUMERI REALI : PROPRIETÀ ED OPERAZIONI CON NUMERI REALI. INTERVALLI DI NUMERI REALI. MAGGIORANTI, MINORANTI, MASSIMO, MINIMO, ESTREMO SUPERIORE ED INFERIORE DI UNINSIEME. ASSIOMA DI CONTINUITÀ. RETTA REALE ESTESA ED OPERAZIONI. ESTREMI DI FUNZIONI REALI. <br /><br />LIMITE DI FUNZIONI :LIMITE FINITO E FUNZIONI CONTINUE; LIMITE DESTRO E SINISTRO.NON ESISTENZA, UNICITÀ, LOCALITÀ, RESTRIZIONE, GIUNZIONE, PERMANENZA DEL SEGNO E LIMITATEZZA. LIMITE DI SOMMA, PRODOTTO E QUOZIENTE DI FUNZIONI.CRITERIO DEL CONFRONTO. CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI ELEMENTARI.CAMBIAMENTO DI VARIABILE NEI LIMITI. LIMITI INFINITI: RETTA REALE ESTESA E OPERAZIONI COI LIMITI. L`INFINITO ALL`INFINITO. LIMITE DI QUOZIENTE DI POLINOMI. LIMITE DI FUNZIONI MONOTONE. LIMITI NOTEVOLI DI FORME INDETERMINATE. <br /><br />“O PICCOLI”: PROPRIETÀ E SVILUPPI DI TAYLOR DEDOTTI DAI LIMITI NOTEVOLI. CONFRONTO TRA INFINITI:LOGARITMO, POTENZA ED ESPONENZIALE. <br /><br />FUNZIONI CONTINUE: TEOREMA DEGLI ZERIE DEI VALORI INTERMEDI. CONTINUITÀ DELLA FUNZIONE INVERSA E CONSEGUENZE. TEOREMA DI WEIERSTRASS E COROLLARI. <br /><br />DERIVATE: DEFINIZIONE E PROPRIETÀ DI FUNZIONI DERIVABILI. PUNTI ANGOLOSI, CUSPIDI E A TANGENTE VERTICALE. DIFFERENZIALE. DERIVATE DI FUNZIONI ELEMENTARI. DERIVATE DI SOMME, PRODOTTI, QUOZIENTI E COMPOSIZIONI DI FUNZIONI. DERIVATE DI FUNZIONI INVERSE. TEOREMI DI FERMAT, ROLLE, LAGRANGE E CAUCHY. ESTREMI RELATIVI, CRESCENZA E DECRESCENZA. DERIVATE SECONDE E SUCCESSIVE. DERIVATE E CONVESSITÀ. STUDIO QUALITATIVO DEL GRAFICO DI FUNZIONI.<br /><br />FORME INDETERMINATE E SVILUPPI ASINTOTICI: TEOREMI DI DE L`HOPITAL E APPLICAZIONI. POLINOMI DI TAYLOR CON RESTO DI PEANO. ORDINE E PARTE PRINCIPALE DI UN INFINITESIMO. SVILUPPI DI TAYLOR E LIMITI.<br /><br />INTEGRAZIONE: MISURA DI INSIEMI, SOMME INTEGRALI DI RIENMANN, INTEGRALE INFERIORE E SUPERIORE. FUNZIONI INTEGRABILI E CRITERIO DI INTEGRABILITÀ. CALCOLO INTEGRALE MEDIANTE SOMME DI RIENMANN. INTEGRABILITÀ DI FUNZIONI MONOTONE O CONTINUE A TRATTI. OPERAZIONI CON INTEGRALI, ADDITIVITÀ RISPETTO AL DOMINIO. TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE. FUNZIONE INTEGRALE E SUE PROPRIETÀ. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO: PRIMITIVE, INTEGRALE INDEFINITO E TEOREMA DI TORRICELLI. INTEGRAZIONE PER PARTI E PER SOSTITUZIONE. INTEGRALI GENERALIZZATI.<br /><br />SUCCESSIONI E SERIE: SUCCESSIONI E LORO LIMITI, CRITERI DI CONVERGENZA. TEOREMI DI BOLZANO-WEIERSTRASS E DI CAUCHY. DEFINIZIONE DI SERIE. CRITERI DI CONVERGENZA PER SERIE A TERMINI NON NEGATIVI. CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO. SERIE ARMONICHE, GEOMETRICHE ED ESPONENZIALI. CRITERIO DI LEIBINIZ PER SERIE A TERMINI DISEGNO ALTERNO. <br />
Bibliografia
E. ACERBI G.BUTTAZZO MATEMATICA PREUNIVERSITARIA DI BASE' . PITAGORA EDITRICE, BOLOGNA.<br /><br />E. ACERBI G.BUTTAZZO 'ANALISI MATEMATICA ABC' VOL.1: FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE . PITAGORA EDITRICE, BOLOGNA.<br /><br />D. MUCCI 'ANALISI MATEMATICA ESERCIZI' VOL.1: FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE . PITAGORA EDITRICE, BOLOGNA.<br /><br />
Metodi didattici
<br />LEZIONI FRONTALI DI TEORIA. ESERCITAZIONI COLLEGATE ALLA TEORIA. <br />VENGONO SVOLTE PROVE SCRITTE IN ITINERE PER IL SUPERAMENTO DELLA PROVA SCRITTA.<br />L'ESAME CONSISTE IN UNA PROVA SCRITTA SEGUITA DA UNA PROVA ORALE.<br />
