Obiettivi formativi
Il corso si prefigge lo scopo di fornire agli studenti una panoramica sugli spazi di Sobolev e dare applicazioni allo studio di equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico.
Prerequisiti
Il corso ``Spazi di Funzioni''
Contenuti dell'insegnamento
<div align="justify">Cenni sugli spazi L^p. <br />
Definizioni e proprietà elementari. Completezza di<br />
L^p. Convoluzioni e regolarizzazioni. Il teorema di Young. Teoremi di densità. Criterio di compattezza forte in L^p.<br />
<br />
Gli spazi di Sobolev. <br />
Una prima motivazione allo studio degli spazi di Sobolev. Definizione di derivata debole e confronto con il concetto di derivata distribuzionale. Prime proprietà degli spazi di Sobolev. Il teorema di Friedrichs. Caratterizzazione degli spazi W^{1,p}(A). Formula di derivazione del prodotto di funzioni e del prodotto di composizione. Approssimazione con funzioni regolari in R^N. Approssimazione con funzioni regolari in A. Operatori di prolungamento. Convoluzioni e spazi W^{1,p}(A). Teoremi di densità. Gli spazi di Sobolev W^{m,p}(A) (m>1 e intero). Il concetto di supporto di una funzione di L^1_{loc}(A). Lo spazio W_0^{m,p}(A). Disuguaglianze di Sobolev e teoremi di immersione. Disuguaglianza di Poincaré. Il concetto di traccia di una funzione negli spazi di Sobolev.<br />
<br />
Alcuni problemi ai limiti.<br />
Soluzione debole, regolarità e legami con la soluzione classica. Formulazione variazionale di alcuni problemi ai limiti ellittici. Il teorema di Lax e Milgram. Regolarità della soluzione debole.</div>
Bibliografia
R.A. Adams, Sobolev spaces, ACADEMIC PRESS, New York, S. Francisco, London, 1975;<br />
H. Brezis, Analisi funzionale, LIGUORI;<br />
D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 2nd Edition, SPRINGER-VERLAG, New York, 1983.
