Obiettivi formativi
Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente apprenderà le nozioni e le tecniche di base della teoria dei gruppi di Lie.
Capacità di applicare conoscenze e comprensione
Lo studente saprà risolvere esercizi di base della teoria dei gruppi di Lie e delle algebre di Lie.
Prerequisiti
Per una seguire produttivamente il corso, lo studente deve possedere una buona conoscenza delle nozioni e dei metodi di Algebra Lineare (corsi Geometria 1A e 1B) e Geometria Differenziale (corsi Geometria 2A e 2B). In particolare, per quanto concerne Algebra Lineare, è richiesta la conoscenza dei seguenti argomenti: forma canonica di Jordan, diagonalizzazione e triangolarizzazione di una matrice, forme bilineari e sesquilineari, simmetriche ed Hermitiane, forme quadratiche.
Contenuti dell'insegnamento
Il corso è una introduzione alla teoria dei gruppi di Lie e delle algebre di Lie. Nella prima parte del corso ci occuperemo delle nozioni di base, dei richiami necessari di geometria differenziale, e della discussione dei problemi fondamentali della teoria. Nella seconda parte del corso, illustreremo in dettaglio la struttura dei gruppi di Lie e le loro proprietà topologiche. Nella terza parte del corso, ci occuperemo della teoria delle algebre di Lie e delle loro rappresentazioni.
Programma esteso
Nozioni di linguaggio. Categorie e funtori.
Nozioni di base. Varietà differenziali. Campi Vettoriali.
Topologia dei gruppi di Lie.
Gruppi di Lie matriciali.
Algebre di Lie e loro rappresentazioni.
Bibliografia
Un numero elevato di note è disponibile gratuitamente online. In particolare, si può fare riferimento alle Lecture Notes di A. Kirillov, A. Savage, e S. Helgason.
Metodi didattici
Durante le lezioni, verranno proposti gli argomenti del corso dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell’apprendimento prevede una prova scritta e una prova orale, il cui accesso è regolato dal raggiungimento di un punteggio minimo alla prova scritta. La preparazione per la prova scritta sarà agevolata tramite l'assegnazione regolare di esercizi, sia computazionali che teorici. Ogni due settimane una lezione sarà dedicata alla discussione di esercizi. Nel colloquio orale gli studenti dovranno dimostrare di possedere le conoscenze di base dell’algebra e della teoria degli anelli commutativi, ed essere in grado di enunciare e dimostrare i risultati presentati durante le lezioni, utilizzando un linguaggio appropriato ed un formalismo matematico corretto.
Altre informazioni
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