Obiettivi formativi
Lo scopo del corso è sia presentare alcuni risultati classici per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, sia descrivere alcune idee generali (approssimazione finito-dimensionale di Galerkin, stime a priori, metodi perturbativi) ed importanti elementi e risultati di analisi armonica astratti (spazi di Lebesgue deboli, trasformata di Fourier, teorema di interpolazione di Marcinkiewicz, decomposizione di Calderón-Zygmund, operatori singolari) che vedano, come applicazione pratica, proprio i risultati sulle PDE menzionati sopra. In particolare, alla fine del corso:
Lo studente dovrà aver acquisito conoscenze relative alle equazioni ellittiche lineari e nonlineari (di tipo p-laplaciano) descritte in modo dettagliato nel programma esteso; dovrà essere in grado di mettere in relazione tra di loro i risultati presentati nel corso evidenziando analogie e differenze. Dovrà inoltre avere padronanza dei risultati astratti su cui si basano i risultati concreti per le PDE. (conoscenze e capacità di comprendere)
Lo studente dovrà essere in grado di manipolare la formulazione debole delle equazioni trattate per dedurre informazioni di vario tipo; applicare i risultati astratti descritti a problemi simili a quelli pratici trattati in aula.
(capacità di applicare conoscenza e comprensione)
Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici relativi al programma svolto; dovrà acquisire un lessico scientifico, riguardante gli argomenti trattati, appropriato. (capacità comunicative)
Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui o da altri e le relazioni/differenze tra risultati analoghi per operatori differenziali differenti. (autonomia di giudizio)
Lo studente sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze nell'ambito degli argomenti del corso, partendo dalle conoscenze basilari e fondamentali fornite dal corso. Tale capacità sarà oggetto di prova di valutazione e richiederà che lo studente sia in grado di consultare in modo autonomo testi specialistici e, eventualmente con aiuto, articoli di ricerca, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni. (capacità di apprendimento).
Prerequisiti
Lo studente deve avere familiarità con il calcolo differenziale di Analisi 1 ed Analisi 2. Inoltre sono necessari alcuni concetti base di Analisi funzionale (convergenza in norma, convergenza debole, separabilità, riflessività, etc), di teoria della misura e dell’integrazione (spazi di Lebesgue, teoremi di scambio limite-integrale) e di Analisi superiore (spazi di Sobolev).
Contenuti dell'insegnamento
Il corso conterrà alcuni risultati di base per equazioni alle derivate parziali, lineari e nonlineari, di tipo ellittico, su aperti limitati. Saranno trattati sia problemi di esistenza di soluzioni deboli che di regolarità di tali soluzioni. A questi scopi saranno presentati importanti strumenti e risultati classici di analisi armonica come spazi di Lebesgue deboli, operatori massimali, teorema di interpolazione di Marcinkiewicz, teoria degli operatori singolari. Sarà dedicata particolare attenzione alla presentazione dei risultati come casi particolari e applicazioni pratiche di idee e metodi più generali (stime a priori, metodi perturbativi) che possano essere implementati, eventualmente, anche su altri problemi. Per quanto possibile, si cercherà di trattare alcune tipologie di risultati sia dal punto di vista lineare, sia da quello nonlineare, in modo da evidenziare la necessità di approcci sostanzialmente differenti.
Programma esteso
Funzioni armoniche, formulazione debole e Lemma di Weyl. Equazioni lineari a coefficienti variabili: esistenza via Lax-Milgram (cenni), teoria di Schauder nel caso di dati Holderiani, teoria di De Giorgi (regolarità Holderiana delle soluzioni per coefficienti misurabili, cenni), disuguaglianze di Harnack e teoria di Gehring (maggiore integrabilità del gradiente). Equazioni lineari a coefficienti variabili non omogenee: stime W^{1,q} per coefficienti continui. Teorema di interpolazione di Marcinkiewicz. Equazione di Laplace: stime per le derivate seconde. Decomposizione di Calderon-Zygmund, operatori singolari. Equazione di p-Laplaciano: esistenza via metodi di monotonia, regolarità del gradiente via stime a priori, stime W^{1,q}.
Bibliografia
L. Ambrosio, A. Carlotto, A. Massaccesi: Lectures on Elliptic Partial Differential Equations, Appunti. Scuola Normale Superiore di Pisa.
M. Giaquinta: Introduction to regularity theory for nonlinear elliptic systems. Lectures in Mathematics, ETH Zürich.
M. Giaquinta, L. Martinazzi: An introduction to the regularity theory for elliptic systems, harmonic maps and minimal graphs (second edition). Appunti. Scuola Normale Superiore di Pisa.
R. E. Showalter: Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. Mathematical Surveys and Monographs, 49.
E. M. Stein: Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton Mathematical Series, No. 30 Princeton University Press.
E. DiBenedetto: C^{1+\alpha} local regularity of weak solutions of degenerate elliptic equations, Nonlin. Analysis 1983.
Metodi didattici
Le lezioni saranno tenute alla lavagna, lasciando alcuni passaggi semplici e variazioni sui risultati visti come esercizio per casa.
Modalità verifica apprendimento
Seminario orale di approfondimento su un argomento del programma.
Altre informazioni
Nel caso parte degli studenti abbia già visto alcuni risultati proposti in altri corsi, il docente si riserva la possibilità di differenziare lievemente il programma per questa parte della classe.
