Obiettivi formativi
[knowledge and understanding]
Conoscere, comprendere e saper comunicare tutti gli argomenti essenziali riportati nella sezione "Programma esteso" (tranne le dimostrazioni di quelli segnati con (**) e (***), ma vedi "Modalità di verifica dell'apprendimento"), che costituiscono una solida base teorica dei processi stocastici.
[applying knowledge and understanding]
Essere in grado di risolvere in autonomia esercizi e problemi basati sugli argomenti del corso, in particolare tutti gli "homework" assegnati durante le lezioni.
[making judgements]
Essere in grado di determinare quando un processo è ben definito e quando gode di una o più delle proprietà introdotte nell'insegnamento (ad esempio essere adattato, essere una semimartingala, essere M2-loc, ecc).
[learning skills]
Essere in grado di leggere e comprendere un testo scientifico che presupponga una conoscenza dei processi stocastici a tempi continui, dell'integrazione stocastica e delle equazioni differenziali stocastiche in dimensione 1.
Prerequisiti
Spazi misurabili e di probabilità, lemmi di Borel-Cantelli, variabili aleatorie, speranza matematica, convergenze di variabili aleatorie, spazi L^p
Contenuti dell'insegnamento
Nella prima parte del corso si introduce il concetto di processo stocastico a tempi continui, discutendo sulle varie problematiche che ne derivano e sviluppando gli strumenti necessari allo studio di tali oggetti. In particolare viene costruito il moto browniano.
La seconda parte è dedicata alla costruzione dell'integrale stocastico e allo studio delle sue proprietà, tramite il concetto di martingala.
Nella terza parte viene data una introduzione alle equazioni differenziali stocastiche.
Programma esteso
I seguenti argomenti rispecchiano quanto svolto negli anni precedenti. Il docente si riserva di adattare leggermente il programma alle diverse esigenze didattiche dell'anno in corso. Il programma aggiornato sarà disponibile alla fine delle lezioni.
1. Misurabilità di una va si può controllare su un insieme di generatori
2. Processo di Bernoulli
3. Passeggiata aleatoria semplice simmetrica (SSRW)
4. Misurabilità di un processo stocastico sse misurabilità componenti (**)
5. Legge di una variabile aleatoria
6. Leggi marginali non fissano quelle finito-dimensionali (hw: costruire esempio)
7. Leggi finito-dimensionali fissano quella globale (hw: dim)
8. Processi indistinguibili, modificazioni e versioni (hw: esempio di versioni non modificazioni)
9. Indipendenza tra sigma-algebre, eventi, variabili aleatorie (hw: X_i vvaa indipendenti e f_i funzioni misurabili, allora f_i(X_i) indipendenti)
10. Indipendenza si può verificare su pi-system che generano
11. Moto Browniano
12. Thm di estensione di Kolmogorov (**)
13. Thm di regolarità di Kolmogorov (***)
14. Esistenza del moto Browniano (*)
15. Modi di convergenza di successioni di vvaa
16. Varianza, covarianza, matrice di covarianza
17. Legge Gaussiana, vettori Gaussiani, processi Gaussiani (hw: X vettore Gaussiano, allora MX vettore Gaussiano)
18. Funzione di covarianza, compatibilità delle leggi finito-dimensionali (**) (hw: che condizione sulla funzione per ottenere traiettorie continue?)
19. Brownian bridge B_t-tB_1 (hw: è un processo Gaussiano, trovare funzione di covarianza)
20. Spazio di Wiener
21. Variazione totale, funzioni BV
22. Variazione quadratica di un processo e del BM (*)
23. Traiettorie Browniane sono non BV e non Hoelderiane per alfa>1/2 (**)
24. Filtrazione, processo adattato, processo progressivamente misurabile
25. Progr.mis implica adattato, viceversa con continuità a destra (**)
26. Moto Browniano rispetto ad una filtrazione; thm: la filtrazione naturale va bene (**)
27. Speranza condizionale; ipotesi L1 si può omettere dalla definizione
28. Proprietà a-k) (vedi libro [Williams]) tranne dimostrazione k) (*)
29. Esistenza e unicità della speranza condizionale (**)
30. Processi semplici, loro integrale stocastico, isometria di Ito (hw: buona definizione, linearità)
31. Distribuzione di I(X) per X semplice: media, varianza, speranza condizionale e momento secondo condizionale (*)
32. Distribuzione di I(X) per X in M²: media, varianza, speranza condizionale e momento secondo condizionale (**)
33. Integrale stocastico per procssi M², buona definizione, linearità, isometria di Ito
34. Densità dei processi semplici in M² (***)
35. Martingale (super, sub), il BM è una martingala; il processo integrale stocastico è una martingala
36. X martingala, f convessa, allora f(x) submartingala; martingala quadratica del processo integrale stocastico
37. Integrale stocastico discreto; mantiene la proprietà di martingala
38. Tempi d'arresto (hw: equivalenza definizioni); processi arrestati; rappresentazione come integrale stocastico discreto; hitting time
39. Optional stopping thm a tempi discreti (*) (hw: ultimo caso con lemma di Fatou)
40. SSRW con due barriere: probabilità di assorbimento (*) e tempo medio (**)
41. Somma, min e max di due tempi di arresto è un tempo di arresto
42. Sigma-algebra di un tempo di arresto; buona definizione in caso di tempo di arresto deterministico; misurabilità di X_tau
43. Optional sampling theorem a tempi discreti (**) (hw: esempio di submartingala e tempo di arresto tau t.c. X_tau non integrabile)
44. Corollario o. Sampling thm (**)
45. Disuguaglianza massimale a tempi discreti (*)
46. Hitting time a tempi continui, per processi adattati continui e insieme chiuso; secondo caso senza dimostrazione
47. Reward: 1 punto in più in verbalizzazione a chi trova l'errore nelle dispense di Caravenna
48. Sigma-algebra di un tempo di arresto a tempi continui (hw: misurabilità di X_tau)
49. Uniforme integrabilità; famiglia di speranze condizionali di X fissata rispetto a sigma-algebre è u.i. (**)
50. Optional sampling theorem a tempi continui (***)
51. Disuguaglianza massimale a tempi continui (*)
52. Martingala arrestata è una martingala a tempi continui (**)
53. Continuità traiettorie integrale stocastico (*)
54. Teorema di localizzazione per integrale di Ito (**)
55. Integrale stocastico di processi M²_loc; buona definizione, generalizza integrale di processi M² (**)
56. Proprietà dell'integrale stocastico di processi M²_loc; senza dimostrazione integrale fino a tempo di arresto
57. Continuità come operatore rispetto alle topologie giuste (**)
58. Processsi di Ito; loro variazione quadratica; integrale stocastico rispetto ad un processo di Ito
59. Formula di Ito, senza dimostrazione
60. Equazioni differenziali stocastiche: soluzioni forti, deboli, unicità pathwise e in legge
61. Thm di buona posizione per SDE con coefficienti Lipschitziani senza dimostrazione
62. Esempio SDE moto Browniano geometrico; esempio SDE processo di Orstein-Uhlenbeck
Note: Le dimostrazioni presentate durante le lezioni del corso vanno
studiate a diversi livelli:
- quelle più semplici e dirette, che possono essere pensate come
semplici verifiche, vanno sapute in ogni caso
- le altre sono segnate con (*), (**) o (***) a seconda della
complessità: le (*) vanno sapute in ogni caso; le (**) e (***)
possono essere chieste all'esame se dichiarato dal docente quando
vengono fissati gli argomenti dell'esame [al massimo 3 di cui una
(***)]
- le definizioni e gli enunciati vanno saputi tutti; se una
dimostrazione non è segnata con (*), (**) o (***), va saputa
- gli homework contano come (**)
Bibliografia
Francesco Morandin - Note dell'insegnamento 2016
Francesco Morandin - Note dell'insegnamento 2018 (redatte man mano e disponibili online dopo ogni lezione)
Francesco Caravenna - Moto browniano e analisi stocastica
Daniel Revuz, Marc Yor - Continuous Martingales and Brownian Motion
Ioannis Karatzas, Steven E. Shreve - Brownian Motion and Stochastic Calculus
David Williams - Probability with Martingales
Paolo Baldi - Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni
Bernt Øksendal - Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications
Metodi didattici
48 ore di lezioni frontali. Durante le lezioni vengono affrontati tutti gli argomenti in modo formale e dando dimostrazione di quasi tutti gli enunciati. Viene prestata grande attenzione alle motivazioni e vengono illustrati alcuni esempi di applicazioni. Non sono previste esercitazioni vere e proprie, ma vengono regolarmente assegnati degli homework che gli studenti sono invitati a svolgere in autonomia ed eventualmente chiedere a ricevimento.
Modalità verifica apprendimento
L'esame è svolto oralmente in una data concordata, su un testo base comunicato dal docente almeno 3 giorni in anticipo. Il testo è costituito da:
A) un esercizio/problema
B) due argomenti teorici (**) o (***) dal "programma esteso" aggiornato
C) un homework
Gli argomenti del "programma esteso" aggiornato che non siano né (**) né (***) possono essere chiesti senza preavviso, come tutte le definizioni e gli enunciati.
Le parti B) e C) possono essere sostituite interamente scegliendo uno degli approfondimenti resi disponibili dal docente.
Per superare l'esame lo studente deve mostrare correttezza del linguaggio e del formalismo matematico. Deve conoscere bene gli oggetti matematici e i risultati del corso e saperli usare con naturalezza. Deve avere la capacità di condurre dimostrazioni in autonomia.
Altre informazioni
Il materiale didattico disponibile sul sito di e-learning dell'insegnamento comprende i video e le lavagnate delle lezioni, che sono svolte tramite tablet computer
