Obiettivi formativi
Il corso ha come oggetto l'introduzione dei concetti fondamentali e dei principali risultati riguardanti la geometria delle curve e delle superficie nello spazio euclideo e delle prime proprieta' delle funzioni olomorfe di una variabile complessa.
In particolare,
1) saranno introdotte le nozioni di curvatura, di torsione e di triedro di Fre'net di una curva, di prima e seconda forma fondamentale, di curvatura media e di curvatura di Gauss di una superficie:
2) saranno introdotte le prime proprieta' elementari delle funzioni olomorfe di una variabile complessa, quali ad esempio le condizioni di Cauchy-Riemann, il Teorema e la Formula di Cauchy, il principio del prolungamento analitico.
Prerequisiti
Algebra, Analisi 1, Geometria 1.
Contenuti dell'insegnamento
teoria delle curve nello spazio euclideo n-dimensionale e geometria delle superficie nello spazio euclideo 3-dimensionale. Proprieta' elementari delle funzioni olomorfe di una variabile complessa.
Programma esteso
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Bibliografia
[1] M. Abate, F. Tovena, Curves and Surfaces, Unitext, 55, Springer, Milano, 2012.
[2] H. Cartan, Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables, Dover Publications, Inc., New York, 1995. 228 pp.
[3] R. V. Churchill, Introduction to Complex Variables and Applications, McGraw- Hill Book Company, Inc., New York, 1948. vi+216 pp.
[4] M. P. Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Dover Publications, 2016.
Metodi didattici
Durante le lezioni frontali, in modalità tradizionale, gli
argomenti verranno presentanti in modo formale e rigoroso. Il corso darà particolare enfasi agli aspetti applicativi e di calcolo, pur non tralasciando
l'aspetto teorico. A tale scopo risultano particolarmente importanti le esercitazioni svolte in aula nelle quale lo studente impara ad applicare la
teoria vista a lezione alla risoluzione di un determinato problema concreto
Modalità verifica apprendimento
L'esame consiste di una prova scritta (o prove in itinere) e prova orale in date differenti.
PROGRAMMA ESTESO
1. CURVE
1.1 Curve parametrizzate.
1.2 Curve regolari. Lunghezza d'arco.
1.3 Teoria locale delle curve. Curvatura e torsione.
1.4 Forma canonica.
2. SUPERFICIE
2.1 Superficie regolari. Immagini inverse di valori regolari. Cambiamento di parametri.
2.2 Il piano tangente. Prima e seconda forma fondamentale di una superficie. Curvatura normale.
2.3 Superficie orientabili. Mappa di Gauss.
2.4 Geometria della mappa di Gauss. Curvature principali. Linee di curvatura. Curvatura media e curvatura di Gauss.
3. GEOMETRIA INTRINSECA DELLE SUPERFICIE
3.1. Isometrie. Isometrie locali.
3.2 Il Teorema Egregium di Gauss e le equazioni di compatibilita'.
3.3 Il trasporto parallelo. Curve geodetiche.
4. PRIME PROPRIETA' DELLE FUNZIONI OLOMORFE DI UNA VARIABILE COMPLESSA.
4.1 Funzioni elementari: funzioni polinomiali, razionali, esponenziale complesso, funzione logaritmo, funzioni trigonometriche. Limiti. Continuita'.
4.2 Derivazione complessa. Le condizioni di Cauchy-Riemann.
4.3 Il Teorema di Cauchy. La formula di Cauchy. Disuguaglianze di Cauchy.
R. V. Churchill, Introduction to Complex Variables and Applications, McGraw- Hill Book Company, Inc., New York, 1948. vi+216 pp.
H. Cartan, Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables, Dover Publications, Inc., New York, 1995. 228 pp.
Complex derivative. Cauchy-Riemann equations. Cauchy Theorem. Cauchy Formula. Power series. Analytic functions. LIouville Theorem. Laurent Series. Residue Theorem.
Altre informazioni
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