Obiettivi formativi
Uno dei principali scopi del corso è quello di fornire i fondamenti
matematici alla base dei diversi metodi o algoritmi, richiamarne le
principali proprietà teoriche: stabilità, accuratezza, complessità
algoritmica, e mostrarne esempi e controesempi che ne illustrino i
vantaggi ed i punti deboli. Si vuole inoltre sperimentare gli algoritmi
presentati in un ambiente Software semplice e abbastanza universale
come MATLAB
Prerequisiti
Nozioni di: Analisi Matematica 1 e Algebra lineare.
Contenuti dell'insegnamento
Analisi degli errori – Approssimazione di dati e di funzioni – Integrazione
Numerica: formule di Newton-Cotes – Integrali generalizzati – Cenno a
formule per integrali in più dimensioni - Sistemi lineari: metodi diretti,
fattorizzazioni, metodi iterativi – Equazioni non lineari -Equazioni
differenziali ordinarie (metodi discreti ad un passo) -- Introduzione a
Matlab
Programma esteso
Analisi degli errori, Rappresentazione dei numeri in un calcolatore, Errori
di arrotondamento, Operazioni di macchina, Cancellazione numerica,
Condizionamento di un problema e stabilità di un algoritmo.
Approssimazione di dati e di funzioni: Interpolazione polinomiale, Formula
di interpolazione di Lagrange, Formula di interpolazione di Hermite,
Formula di Newton alle differenze divise, Interpolazione di funzioni
polinomiali a tratti, Funzioni spline, Interpolazione di funzioni di più
variabili (cenno).
Integrazione Numerica: Formule di quadratura interpolatorie,
Integrazione secondo Newton-Cotes, Stima dell’errore, Formule
composte, Applicazioni delle formule di quadratura.
Algebra Lineare Numerica: metodi diretti, Il metodo di eliminazione di
Gauss, Decomposizione di Gauss e fattorizzazione LU, Raffinamento
iterativo, Matrice inversa. Metodi iterativi: Metodo di Jacobi, Metodo di
Gauss-Seidel, Metodo di sovrarilassamento (SOR).
Equazioni e sistemi non lineari: radici reali di equazioni non lineari,
metodo di bisezione, metodi delle secanti, delle tangenti (Newton-
Raphson), Test di convergenza, metodi iterativi in generale, metodo di
accelerazione di Aitken.
Equazioni differenziali ordinarie: metodi one-step espliciti, metodi Runge-
Kutta, comportamento locale dei metodi one-step, Convergenza dei
metodi one-step espliciti, Stima dell’errore locale di troncamento e scelta
del passo d’integrazione. Metodi multistep (cenno). Stabilità dei metodi
numerici.
Bibliografia
A.Quarteroni, R.Sacco, F.Saleri: Matematica Numerica, Springer.
G.Naldi, Lorenzo Pareschi, G.Russo, Introduzione al Calcolo Scientifico,
McGraw-Hill.
G.Monegato, Fondamenti di Calcolo Numerico, CLUT.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercizi in aula. Esercitazioni MATLAB in laboratorio
numerico. Correzione di esercizi assegnati individualmente
Modalità verifica apprendimento
Prova scritta di laboratorio seguita da una prova orale.
Altre informazioni
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