Obiettivi formativi
Il Corso si propone di fornire alcuni elementi di meccanica computazionale, con particolare riferimento alle metodologie di calcolo automatico applicate all’analisi di strutture generiche.
Prerequisiti
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Contenuti dell'insegnamento
Fondamenti di meccanica computazionale. La modellazione strutturale.
Fondamenti dei metodi variazionali
Metodi residuali
Fondamenti del metodo degli elementi finiti
Elementi finiti isoparametrici
Modellazione numerica di strutture generiche
Cenni agli aspetti avanzati sull'uso degli elementi finiti
Programma esteso
Fondamenti di meccanica computazionale. La modellazione strutturale.Fondamenti dei metodi variazionaliFormulazione forte e debole di un problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali e naturali. Principi variazionali. Teorema dei lavori virtuali. Soluzione polinomiale approssimata. Metodo di Bubnov-Galerkin. Formulazione generale del metodo degli elementi finiti: forma differenziale e forma integrale.Principio di minimo dell’energia potenziale totale. Approssimazione del campo di spostamenti. Applicazione del metodo di Rayleigh-Ritz alle travi e alle piastre inflesse. Il metodo degli elementi finiti come sottoclasse dei metodi variazionali.Metodi residualiI metodi dei residui pesati. Metodo dei sottodomini, metodo della collocazione, metodo dei minimi quadrati, metodo di Galerkin. Il metodo degli elementi finiti come sottoclasse dei metodi dei residui pesati. Fondamenti del metodo degli elementi finiti. Equazioni algebriche di equilibrio statico, dinamico e con coazioni di un sistema strutturale discretizzato con gli EF. Calcolo della matrice di rigidezza e del vettore dei termini noti. Assemblaggio della matrice di rigidezza globale della struttura. Trattamento e classificazione delle condizioni al contorno: lineari e non lineari, single freedom constraints, multi freedoms constraints. Metodo master-slave, metodo penalty, metodo dei moltiplicatori di Lagrange.Elementi finiti isoparametrici. Elementi finiti per elementi strutturali monodimensionali: elementi biella (truss), trave alla Bernoulli ed alla Timoshenko (beam). Elementi finiti per elementi strutturali bidimensionali: elementi in stato piano di sforzo, di deformazione ed assialsimmetrici, elementi piani lastra (shell), elementi piani inflessi alla Kirchhoff e alla Mindlin (plate). Elementi finiti per elementi strutturali tridimensionali: elementi solidi in materiale isotropo ed ortotropo. Scelta dell’elemento finito e delle funzioni di forma. Costruzione delle funzioni di forma locali e globali e delle loro derivate. Esempi per funzioni di forma lineari. Elementi finiti isoparametrici: definizione e condizioni di convergenza. Generazione di elementi finiti isoparametrici di tipo Lagrangiano e Serendipidy. Completezza delle funzioni di forma. Elementi finiti isoparametrici mono, bi e tridimensionali.Integrazione numerica: formula del cambio di variabili in 1D, 2D, 3D. Formula del trapezio e di Simpson. Formula di Gauss. Accuratezza integrazione numerica. Formula di Gauss in 2D e 3D. Esempi. Calcolo del numero minimo di punti di integrazione nel caso 2D.Principi dell'uso degli elementi finiti in ambito non-lineareAnalisi agli autovalori: problema dell’instabilità dell’equilibrio (rigidezza geometrica), modi propri di vibrare di una struttura (matrice di massa). Problemi di non linearita' di materiale in analisi statiche e dinamiche.Approfondimenti del metodo degli elementi finitiCondizioni di convergenza del metodo degli EF. Errori dei metodi computazionali. Mal condizionamento e numero di condizionamento di una matrice. Cause di malcondizionamento. Scaling di una matrice. Convergenza del metodo degli elementi finiti: Completezza, compatibilità, stabilità. Il Patch Test. Condizione di Babuška-Brezzi. Sovrastima della rigidezza, accuratezza della soluzione, integrazione ridotta, hourglass, materiali incomprimibili. Analisi della struttura del diagramma di flusso di un semplice programma agli elementi finiti. Sottostrutturazione. Post-processamento dei risultati.
Cenni all’uso ed allo sviluppo di semplici programmi di calcolo agli elementi finti per l’analisi di problemi strutturali.
Applicazioni: modellazione numerica di strutture genericheUtilizzo di software ad elementi finiti per la modellazione di semplici strutture ed applicazioni per la soluzione di problemi di meccanica dei solidi. Prove di convergenza delle soluzioni. Analisi ed interpretazione critica dei risultati, valutazione della precisione delle analisi.
Bibliografia
1. Appunti delle lezioni del docente.
2.Cook, R.D., Malkus D.S., Plesha, M.E.: “Concept and application of finite element analysis”, 4th edition, John Wiley & Sons, 2002.
3.Zienkiewicz, O.C.: “The finite element method”, Mc Graw-Hill, 2000.
4.Corradi dell’Acqua, L.: "Meccanica delle strutture", Vol. 1,2 e 3, Mc Graw-Hill, 1995.
Metodi didattici
Lezioni frontali, esercitazioni ed analisi strutturali eseguite individualmente dagli studenti
Modalità verifica apprendimento
L'esame consiste nello svolgimento di una esercitazione individuale relativa all’implementazione e/o all’applicazione del metodo degli Elementi Finiti ed in una prova orale.
Altre informazioni
Durante il Corso verranno svolte delle esercitazioni teoriche e pratiche al calcolatore per permettere agli allievi di impadronirsi delle metodologie di progettazione strutturale illustrate durante le lezioni.
