Obiettivi formativi
Il Corso intende condurre lo studente ad un livello di conoscenza delle metodologie di misura tali da consentirgli di gestire con autonomia semplici esperienze di laboratorio per la determinazione di quantità meccaniche e calorimetriche. Inoltre si propone di fornire allo studente una conoscenza di base della teoria degli errori con elementi di teoria delle probabilità e delle variabili stocastiche.
Prerequisiti
Conoscenza di alcuni fondamenti della matematica elementare: algebra, trigonometria, elementi di geometria analitica, elementi di calcolo differenziale ed integrale. Conoscenza dei concetti fondamentali della cinematica e della dinamica del punto materiale, calorimetria.
Contenuti dell'insegnamento
La misura: misure dirette ed indirette, unità di misura, gli strumenti di misura, caratteristiche e criteri di scelta degli strumenti di misura, sensibilità, precisione, prontezza, dinamica; errori di misura e loro rappresentazione, errori sistematici e casuali, intervalli di confidenza.
Studio delle incertezze nelle misure fisiche: trattamento statistico dei dati,
propagazione degli errori, analisi statistica degli errori casuali, distribuzioni di frequenze, distribuzione Normale, rigetto dei dati, medie pesate, metodo dei minimi quadrati e regressioni, covarianza e correlazione, test di consistenza per una distribuzione.
Cenni di teoria delle probabilità: statistica e probabilità, variabili discrete e continue, il concetto di evento, operazioni sugli eventi, eventi e insiemi, eventi dipendenti ed indipendenti, probabilità condizionata, distribuzioni di probabilità, funzioni di distribuzione e densità di probabilità, momenti di una distribuzione, analisi di alcune distribuzioni importanti (uniforme, binomiale, di Poisson, Normale o di Gauss, di Cauchy), legge dei grandi numeri, teorema del limite centrale.
Cenni di calorimetria: definizione di temperatura, metodi di misura della temperatura, termocoppie, calori specifici e capacità termica. Meccanismi di trasferimento del calore, calorimetri, misura del calore specifico.
Le esperienze in Laboratorio saranno definite in relazione agli argomenti trattati nel Corso di “Fisica 1” e riguarderanno:
- Il moto dei gravi
- Il moto dei corpi rigidi
- Il moto pendolare
- Le oscillazioni armoniche
- La meccanica dei fluidi
- Le onde nei mezzi continui
- La calorimetria
Programma esteso
I modulo
1. La misura: misure dirette ed indirette, grandezze fisiche, unità di misura, gli strumenti di misura, caratteristiche e criteri di scelta degli strumenti di misura, sensibilità, precisione, prontezza, dinamica; Errori sistematici e casuali, intervalli di confidenza; ordini di grandezza e cifre significative.
2. Studio delle incertezze nelle misure fisiche: propagazione degli errori (somma, differenza, prodotto, quoziente, somma in quadratura, funzione di una e due variabili); errore come differenziale. Errori di misura e loro rappresentazione: intervallo di confidenza, cifre significative, consistenza/discrepanza tra misure, verifica di leggi fisiche.
3. Studio delle incertezze nelle misure fisiche: trattamento statistico dei dati e loro rappresentazione; analisi statistica degli errori casuali: media e misura della deviazione, varianza e deviazione standard; istogrammi e distribuzioni di frequenze. Frequenza cumulativa. Cenni al trattamento degli errori sistematici.
4. Studio delle incertezze nelle misure fisiche: frequenza e probabilità, distribuzione limite, densità di probabilità; normalizzazione, valor medio e deviazione standard. Distribuzione Normale: confidenza e deviazione standard, integrale normale degli errori; confronto tra risultati. Media come miglior stima. Distribuzioni di popolazione.
5. Studio delle incertezze nelle misure fisiche: medie pesate, rigetto dei dati (criterio di Chauvenet); cenni al metodo dei minimi quadrati e alle regressioni.
6. Introduzione alla teoria della probabilità: statistica e probabilità, variabili discrete e continue, il concetto di evento; casi favorevoli e casi possibili, definizione classica e frequentistica di probabilità.
7. Calcolo combinatorio: disposizioni semplici, disposizioni con ripetizione, permutazioni semplici, permutazioni con oggetti identici, combinazioni semplici, combinazioni con ripetizione. Il gioco del Lotto.
8. Cenni di calorimetria: definizione di temperatura, metodi di misura della temperatura, termocoppie, calori specifici e capacità termica. Meccanismi di trasferimento del calore, calorimetri, misura del calore specifico.
Le esperienze in Laboratorio riguarderanno:
• Le misure elementari di grandezze fisiche
• La caduta libera dei gravi
• La composizione delle forze
• I moti oscillatori armonici in una dimensione
• Il pendolo semplice
• Le distribuzioni di Bernoulli e Poisson
• Il calorimetro delle mescolanze
II modulo
1. Introduzione alla teoria della probabilità: statistica e probabilità. Cenni alla teoria assiomatica delle probabilità: assiomi di Kolmogorov.
2. Teoremi fondamentali del calcolo della probabilità: somma e prodotto di eventi, negato di un evento e composizione; teorema di addizione, eventi incompatibili e non; eventi dipendenti ed indipendenti, probabilità condizionata, teorema di moltiplicazione; teorema delle probabilità composte; formula della probabilità totale; teorema di Bayes. Teorema sulle prove ripetute: legge Binomiale. Cenni alla deduzione dei teoremi del calcolo delle probabilità nell’ambito della teoria assiomatica.
3. Distribuzioni di probabilità: variabili aleatorie discrete e continue, leggi di distribuzione, funzioni di distribuzione e densità di probabilità; caratteristiche di posizione: media, moda, mediana; momenti di una distribuzione: momenti iniziali e momenti centrali, asimmetria e curtosi. Diseguaglianza di Chebishev.
4. Distribuzioni di probabilità discrete: distribuzione uniforme discreta; distribuzione di Bernoulli (Binomiale): momenti iniziali e centrali, relazioni di ricorrenza; distribuzione di Poisson: momenti iniziali e centrali. Decadimenti radioattivi.
5. Distribuzioni di probabilità continue: distribuzione uniforme continua; distribuzione normale o di Gauss, distribuzione normale standardizzata, momenti iniziali e momenti centrali; approssimazione gaussiana della distribuzione di Bernoulli e della distribuzione di Poisson. Teorema del limite centrale. Distribuzione del chi quadro; distribuzione di Cauchy.
6. Distribuzione normale: applicazioni del criterio di massima verosimiglianza: media come miglior stima, deviazione standard, deviazione standard della media, medie pesate. Dimostrazioni delle formule di propagazione degli errori: somma, prodotto, somma in quadratura, formula generale.
7. Applicazioni al trattamento dei dati: metodo dei minimi quadrati: adattamento ad una retta, incertezza sui parametri; metodo dei minimi quadrati pesati; regressione e adattamento. Variabili casuali multiple, densità marginali, indipendenza stocastica, covarianza; covarianza nella propagazione degli errori. Coefficiente di correlazione lineare.
8. Applicazioni al trattamento dei dati: Test di ipotesi: livello di significatività, test del chi quadro di adattamento, consistenza di una distribuzione.
Le esperienze in Laboratorio saranno definite in relazione agli argomenti trattati nel Corso di “Fisica 1” e riguarderanno:
• Il moto dei corpi rigidi
• Il moto pendolare
• Le oscillazioni torsionali
• Il moto oscillatorio smorzato e forzato
• La meccanica dei fluidi
• Le onde nei mezzi continui
• La calorimetria e le transizioni di fase
Bibliografia
1. J.R. Taylor, Introduzione all'Analisi degli Errori, Ed. Zanichelli, Bologna, 2° ed., 2000.
2. M. Loreti, Teoria degli errori e fondamenti di statistica, http://wwwcdf.pd.infn.it/labo/INDEX.html (2005).
3. Materiale fornito dal docente.
Per approfondimenti: R. Scozzafava, “Primi passi in probabilità e statistica”, Ed. Zanichelli, Bologna, 2° ed., 2000.
Metodi didattici
Lezione orale e laboratorio. Lezioni frontali. Presentazione degli strumenti da utilizzare in laboratorio. Presentazione sul PC dei programmi di acquisizione e di analisi dati.
Modalità verifica apprendimento
Valutazioni in itinere. Esame scritto orale congiunto. La valutazione viene svolta in itinere attraverso prove scritte e relazioni settimanali sull'attività svolta in laboratorio. Qualora, a fine corso, la valutazione non venga ritenuta positiva, vengono proposte, a seconda dei casi, prove pratiche di laboratorio, prove scritte o prove orali.
Altre informazioni
Il corso è suddiviso in 2 semestri: 6CFU nel 1° semestre, 6CFU nel 2° semestre. La valutazione finale è unica e si terrà alla fine del 2° semestre.
Orario di ricevimento: su appuntamento.
