Obiettivi formativi
Il corso intende presentare alcuni modelli matematici di evoluzione provenienti dalla Meccanica e più in generale dalle Scienze Applicate. Oggetto del corso sono i metodi per l'analisi qualitativa dei sistemi di equazioni differenziali che descrivono tali modelli, con particolare attenzione alle soluzioni di equilibrio e alla stabilità.
Prerequisiti
E' consigliata la conoscenza delle equazioni differenziali ordinarie.
Contenuti dell'insegnamento
Sistemi dinamici: definizioni e proprietà elementari. Il concetto di stabilità. Metodi di Liapunov per lo studio della stabilità di soluzioni stazionarie. Modelli lineari: dall'oscillatore armonico ai problemi di risonanza.Modelli non lineari in dinamica delle popolazioni: il modello Lotka-Volterra, i modelli preda-predatore, il modello epidemiologico.Oscillatori non lineari: l'equazione di Van der Pol, l'equazione di Duffing.Introduzione alla teoria delle biforcazioni: biforcazioni stazionarie, cicli limite, biforcazioni di Hopf.Il teorema di Poincarè-Bendixson per sistemi piani. Sistemi caotici: il sistema di Lorenz.Sistemi dinamici discreti: mappa di Feigenbaum; biforcazioni di periodo doppio
Bibliografia
G.L. CARAFFINI, M. IORI, G. SPIGA, Proprietà elementari dei sistemi dinamici, Appunti per il corso di Meccanica Razionale, UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PARMA, a.a 1998-99;
G. BORGIOLI, Modelli Matematici di evoluzione ed equazioni differenziali, Quaderni di Matematica per le Scienze Applicate/2, CELID, TORINO, 1996;
R. RIGANTI, Biforcazioni e Caos nei modelli matematici delle Scienze applicate, LEVROTTO & BELLA TORINO, 2000;
M.W HIRSCH, S. SMALE, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, ACADEMIC PRESS, NEW YORK, 1974; J.D. MURRAY, Mathematical Biology, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1989;
J. GUCKENHEIMER, P. HOLMES, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vectors Fields, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1983.
Metodi didattici
Il corso viene svolto principalmente mediante lezioni in aula; costituiscono parte integrante le simulazioni numeriche in ambiente Matlab dei modelli considerati, svolte nelle ore di laboratorio numerico.
Modalità verifica apprendimento
Esame orale con presentazione (eventuale) di progetto numerico
