Obiettivi formativi
Lo scopo di questo e' quello di fornire una rigorosa preparazione sul calcolo differenziale di funzioni in piu' variabili
Prerequisiti
Funzioni di una variabile A <br />Funzioni di una variabile B
Contenuti dell'insegnamento
<br />Norme e distanze. Prodotto scalare in $R^n$ e proprietà. Norma euclidea, disuguaglianza di Schwarz. Norme e spazi normati. Distanze e spazi metrici. Topologia di uno spazio metrico. Compattezza.Distanze equivalenti, norme equivalenti. Funzioni continue. Funzioni Lipschitziane. Successioni e serie negli spazi normati. Completezza, spazi di Banach. Spazi di funzioni continue, norma uniforme, convergenza uniforme di funzioni. Applicazioni lineari continue, norma degli operatori. Teorema di punto fisso delle contrazioni. Chiusi invarianti. Esempi e applicazioni scelte del teorema delle contrazioni. La serie di Neumann.<br /><br /><br />Calcolo differenziale in piu` variabili. Differenziale di una applicazione. Somma e composizione. Varie nozioni collegate: esempi e confronti. Differenziale della applicazione inversa. Curve. Teorema del valor medio generalizato. Lipschitzianità Locale. Teorema del differenziale totale.Teorema di simmetria del differenziale secondo. Massimi e minimi in più variabili. Estremi liberi: condizioni necessarie e sufficienti. Vincoli regolari. Ricerca di massimi e minimi vincolati; metodo dei moltiplicatori di Lagrange.Teorema di inversione locale. Teorema della funzione implicita (di Dini). Forme differenziali e campi vettoriali. Integrale di linea lungo un cammino. Forme esatte, condizioni necessarie e sufficienti per l'esattezza. Forme differenziali di classe $C^2$; forme chiuse. Domini stellati, esattezza delle forme differenziali chiuse su domini stellati.<br /><br /><br /><br /><br /><br />
Programma esteso
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Bibliografia
<br />G. Prodi, Lezioni di Analisi Matematica II, ETS Editrice;<br />W. Rudin, Principi di Analisi matematica, McGraw-Hill. <br />E. Giusti, Analisi Matematica 2, Boringhieri<br /><br />
Metodi didattici
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Modalità verifica apprendimento
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Altre informazioni
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