Obiettivi formativi
Al termine dell'attivita' formativa lo studente dovra' aver acquisito una sufficiente comprensione e conoscenza delle nozioni elementari del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di piu' variabili reali e della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Il corso pone enfasi sugli aspetti di calcolo piuttosto che sugli aspetti piu' teorici della disciplina.
In particolare, nell'ambito degli argomenti trattati nel programma, lo studente dovra' aver acquisito
1. una sufficiente conoscenza dei contenuti del corso;
2.la capacita' di utilizzare gli strumenti del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di piu' variabili reali e la teoria delle equazioni differenziali ordinarie per la risoluzione di problemi di semplice o media difficolta';
3. la capacita' di analizzare e valutare la coerenza e la correttezza di argomentazioni e risultati ottenuti da lui o da altri;
4. la capacita' di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici utilizzando correttamente il lessico scientifico specifico della disciplina;
5. la capacita' di accedere autonomamente a testi scientifici e tecnici che utilizzano strumenti di calcolo differenziale ed integrale per funzioni di piu' variabili reali e equazioni differenziali ordinarie.
Prerequisiti
Solida conoscenza di Analisi Matematica 1 e Geometria.
Contenuti dell'insegnamento
Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di piu' variabili reali ed equazioni differenziali ordinarie.
Programma esteso
1) Preliminari di algebra lineare e topologia. Algebra lineare e geometria: spazi vettoriali, norma e prodotto scalare e disuguaglianza di Cauchy--Schwarz; applicazioni lineari e matrici, autovalori e diagonalizzazione delle matrici simmetriche, forme quadratiche; elementi di geometria analitica nel piano e nello spazio. Topologia: punti interni, di accumulazione e di frontiera; insiemi aperti ed insiemi chiusi; insemi compatti ed insiemi connessi. 2) Calcolo differenziale. Limiti e continuita': limiti per funzioni di piu' variabili reali; funzioni continue di piu' variabili reali; teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi. Calcolo differenziale: derivate direzionali e parziali, funzioni differenziabili scalari e vettoriali, gradiente e suo significato; piano tangente, vettori tangenti e normali al grafico di una funzione; differenziabilita' della funzione composta; funzioni con gradiente nullo; funzioni differenziabili di classe C1. Teorema di inversione locale. Diffeomorfismi e cambi di variabile. Funzioni di classe C2: funzioni di classe C2, teorema di Schwarz e matrice Hessiana; formula di Taylor del secondo ordine; massimi e minimi locali e globali, punti di sella; condizioni necessarie e/o sufficienti per l'ottimizzazione di funzioni. Superfici: teorema della funzione implicita e moltiplicatori di Lagrange. 3) Curve e campi vettoriali. Curve orientate: semplici, chiuse, lisce e regolari; lunghezza di una curva e rettificabilita' delle curve lisce; curve equivalenti e ascissa curvilinea. Campi vettoriali: integrale curvilineo di un campo vettoriale; campi conservativi e potenziali; campi irrotazionali. 4) Integrali multipli Integrazione: insiemi misurabili e misura secondo Peano--Jordan; integrale e sue proprieta'; funzioni integrabili; formule di riduzione e teorema di Fubini--Tonelli. Cambio di variabili negli integrali multipli: teorema di cambiamento di variabili negli integrali multipli; significato geometrico dello Jacobiano per le trasformazioni lineari; cambiamento di coordinate polari piane, sferiche e cilindriche. 5) Equazioni Differenziali Ordinarie Equazioni differenziali ordinarie: definizioni ed esempi; teoremi di esistenza locale ed unicita'; soluzioni massimali e soluzioni globali; risoluzione di alcuni tipi di equazioni scalari (lineari, a variabili separabili, di Bernoulli). Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: sistema fondamentale di soluzioni; formula di variazione delle costanti arbitrarie di Lagrange.
Bibliografia
Appunti delle lezioni e materiale tratto dai seguenti testi:
N. Fusco -- P. Marcellini -- C. Sbordone, "Lezioni di analisi matematica due", Zanichelli, Bologna 2020;
C.D. Pagani -- S.Salsa, "Analisi Matematica Vol. 1 e 2", Zanichelli, Bologna 2015.
Metodi didattici
Lezioni frontali in presenza (4 ore settimanali) ed esercitazioni online (2 ore settimanali). Gli studenti sono tenuti a seguire il protocollo di sicurezza elaborato dall'ateneo per contenere la diffusione del virus covid-19. Le lezioni saranno inoltre registrate e resteranno a disposizione sulla pagina Elly-DIA del corso per tutta la settimana successiva a quella di svolgimento.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene in forma tradizionale attraverso un esame finale costituito da una prova scritta e da un colloquio orale. Non sono previste prove intermedie.
La prova scritta consiste di esercizi a risposta multipla e a risposta aperta relativi al programma svolto. Il colloquio orale e' subordinato al superamento della prova scritta (votazione non inferiore a 16/30) e verte sulla discussione della prova scritta e su tutto
il programma svolto a lezione. Il voto finale tiene conto della prova scritta e del colloquio
Altre informazioni
Il corso si svolge a ritmo sostenuto ed e' essenziale lavorare costantemente durante il semestre.
