Obiettivi formativi
Lo studente dovrebbe acquisire conoscenze e competenze relative agli anelli di interi di campi di numeri e alle nozioni di base della teoria algebrica dei numeri. Dovrebbe inoltre essere in grado di applicare tali conoscenze allo studio di estesioni algebriche di vario tipo (in particolare quadratiche e ciclotomiche) per risolvere problemi di fattorizzazione di primi e affrontare alcuni aspetti di problemi più complessi come l'Ultimo Teorema di Fermat.
Al termine del corso lo studente dovrebbe essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici (relativi al programma svolto) con lessico scientifico specifico e appropriato e di approfondire autonomamente le proprie conoscenze di teoria algebrica dei numeri consultando la letteratura specialistica della materia.
Prerequisiti
Conoscenza delle strutture algebriche di base (gruppi, anelli e campi).
Contenuti dell'insegnamento
Il corso descrive le proprietà generali dei domini di Dedekind e poi si concentra sul caso particolare degli anelli degli interi in campi di numeri (estensioni finite dei razionali). Vengono introdotti gli strumenti di base della teoria algebrica dei numeri e dimostrati dei teoremi sulla struttura degli anelli degli interi e sulla fattorizzazione dei primi che consentono allo studente di affrontare e comprendere alcuni aspetti di problemi classici come l'Ultimo Teorema di Fermat.
Programma esteso
Estensioni intere: elementi algebrici, polinomi minimi e caratteristici, ideali primi in estensioni intere, Teoremi del "going up" e "going down", anelli integralmente chiusi.
Domini di Dedekind: anelli noetheriani, domini di Dedekind locali, fattorizzazione degli ideali in prodotto di ideali primi, gruppo delle classi.
Campi di numeri: estensioni finite dei razionali, immersioni nel campo dei complessi, norma e traccia, discriminante, anello degli interi, esempi: campi quadratici, biquadratici, cubici e ciclotomici.
Fattorizzazione dei primi: fattorizzazione negli anelli di interi, indici di ramificazione e inerzia, Teoremi di Kummer e Dedekind, fattorizzazione in estensioni di Galois, esempi: campi quadratici e ciclotomici.
Durante il corso verranno richiamate (o introdotte) le nozioni di base di algebra commutativa e teoria di Galois necessarie per affrontare alcuni degli argomenti presentati.
Bibliografia
D.A. Marcus "Number Fields" Universitext, Springer-Verlag.
J.S. Milne "Algebraic Number Theory" http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ant.html
J. Neukirch "Algebraic Number Theory" Gr. der math. Wissenschaften 322, Springer-Verlag.
M.R. Murty - J. Esmonde "Problems in Algebraic Number Theory" GTM 190, Springer-Verlag.
Metodi didattici
Lo strumento didattico privilegiato per lo sviluppo delle conoscenze sono le lezioni frontali: il corso prevede 4 ore di didattica frontale a settimana, durante le quali vengono presentati gli argomenti teorici corredati da un'ampia gamma di esempi ad esercizi/applicazioni.
Il prendere appunti è visto come parte del processo d'apprendimento.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene con un esame orale su tutto il programma svolto a lezione e che comprende sia domande teoriche (definizioni, teoremi) sia lo svolgimento di esercizi. Lo studente dovrà dimostrare di conoscere e saper presentare gli argomenti del corso e di essere in grado di applicare tali strumenti allo studio di esempi concreti ed alla risoluzione degli esercizi.
La prova è superata se lo studente raggiunge un punteggio almeno pari a 18. Il voto massimo della prova è 33 e allo studente che nella prova ottiene un punteggio superiore a 30 viene attribuito il punteggio di 30 e lode.
Altre informazioni
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