Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere:
teoria basilare dell'Algebra Lineare e della Geometria dello spazio.
Competenze:
a) risolvere sistemi di equazioni lineari;
b) diagonalizzare matrici;
c) risolvere semplici esercizi di geometria analitica lineare nello spazio;
d) operazioni su vettori e matrici.
Capacità comunicative e di apprendimento:
esprimersi correttamente con linguaggio matematico.
Prerequisiti
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Contenuti dell'insegnamento
Il corso rappresenta una introduzione a diversi aspetti dell'Algebra Lineare e della
Geometria.
Inizia con una parte di Geometria Euclidea nello spazio (vettori, rette e piani), mentre la seconda parte studia matrici e sistemi lineari. Nella terza parte del corso si studiano Rn e i suoi sottospazi vettoriali, le applicazioni lineari e il problema della diagonalizzazione degli operatori.
Programma esteso
PROGRAMMA PROF. LUCIA ALESSANDRINI
GEOMETRIA LINEARE NELLO SPAZIO
1. Vettori nello spazio. Coordinate. Punti o vettori. Operazioni componente per componente. Il prodotto scalare. Lunghezze, distanze, ortogonalità. La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angolo fra vettori. Il prodotto vettoriale in R3.
2. Rette e piani. Ortogonalità fra rette e piani. Appartenenza. Parallelismo. Equazioni cartesiane di una retta. Rette sghembe; rette e piani ortogonali. Cenni sulle superfici quadriche.
VETTORI, MATRICI, SISTEMI LINEARI
3. Lo spazio n-dimensionale Rn. Operazioni sui vettori. Proprietà delle operazioni. Il prodotto scalare in Rn. Proprietà del prodotto scalare. Lunghezze, distanze, ortogonalità. Angolo fra vettori.
4. Matrici. Operazioni sulle matrici. Proprietà delle operazioni sulle matrici. Prodotto di matrici. Proprietà del prodotto e potenza di una matrice. Matrici invertibili e matrice inversa. Trasposta di una matrice: matrici simmetriche e antisimmetriche. Matrici ortogonali. Il determinante di una matrice quadrata. Proprietà del determinante. Rango per minori.
5. Sistemi lineari e matrici. Sistemi di equazioni lineari. Operazioni elementari. Matrici e sistemi ridotti. Insieme delle soluzioni di un sistema ridotto. Algoritmo di Gauss e riduzione. Rango di una matrice e sistemi lineari: Teorema di Rouchè-Capelli. Mutua posizione di rette e piani nello spazio.
6. Spazi vettoriali e sottospazi (in Rn). Combinazioni lineari e spazi generati. Lineare dipendenza e indipendenza. Basi, coordinate e dimensione. Sottospazi vettoriali di Rn.
APPLICAZIONI LINEARI E DIAGONALIZZAZIONE
7. Applicazioni lineari. Immagine e nucleo di un'applicazione lineare. Isomorfismi. Matrici e applicazioni lineari, e loro proprietà.
8. Autovalori, autovettori e diagonalizzazione. Matrici del cambiamento di base e loro proprietà. Il problema della diagonalizzazione: operatori diagonalizzabili. Autovalori e autovettori. Il polinomio caratteristico. Condizioni per la diagonalizzabilità. Diagonalizzazione di matrici simmetriche.
Bibliografia
ALESSANDRINI, L., NICOLODI, L., GEOMETRIA A, ED. UNINOVA (PR) 2004.
Metodi didattici
La modalità didattica privilegiata è la lezione frontale in cui vengono proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi, da applicazioni e numerosi esercizi. Gli esercizi sono uno strumento essenziale in Algebra Lineare; in aggiunta alle lezioni, saranno proposti esercizi da svolgere in modo guidato.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta, che può essere sostituita da due prove scritte parziali svolte durante il corso.
Nella prova scritta, attraverso gli esercizi proposti, lo studente dovrà dimostrare di possedere le conoscenze di base relative all' Algebra Lineare e alla Geometria Euclidea dello spazio
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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