Obiettivi formativi
Gli studenti devono arrivare a padroneggiare un quadro consistente delle competenze matematiche necessarie allo studio dei capitoli più avanzati della fisica, in particolare della fisica quantistica. Devono cogliere la potenza del linguaggio matematico nella soluzione di problemi in campi assai diversi: si mira a far loro acquisire strumenti di cui dovrebbero in futuro riconoscere la potenza in molteplici applicazioni. Il loro coinvolgimento nelle sessioni di esercizi in classe e la presentazione della soluzione di problemi assegnati per lo svolgimento a casa sono intesi orientati all'allenamento di capacita' di comunicazione (saper argomentare in pubblico).
Prerequisiti
Nozioni fondamentali di analisi reale, calcolo infinitesinmale, geometria e algebra.
Contenuti dell'insegnamento
I contenuti costituiscono un ragionevole completamento della formazione matematica del laureato in Fisica. Il programma è indubbiamente ampio, con il vincolo però di coniugare il necessario rigore con la capacità di delineare agilmente il quadro complessivo dei contenuti (con il necessario accento sulla acquisizione di metodi di calcolo).
Si completa la preparazione di base sull'analisi complessa e sulla teoria delle funzioni analitiche (singolarità, residui, sviluppi in serie, prolungamento analitico, integrali definiti).
La parte principale del corso è costituita dalla teoria degli operatori lineari negli spazi finito dimensionali (con l'obiettivo di arrivare ad una trattazione ragionevolmente completa della teoria spettrale), con i necessari approfondimenti di algebra lineare e con l’esposizione di importanti temi correlati (ad esempio informazioni di base su topologia e spazi metrici). In questo quadro si riprenderanno anche quelle nozioni sulla serie di Fourier e sulla approssimazione mediante polinomi che in modo naturale conducono all’allargamento verso gli spazi infinito dimensionali, e in particolare verso gli spazi di funzioni. Gli argomenti verranno presentati nella prospettiva di applicazioni a problemi tipici della fisica matematica e soprattutto di un primo contatto con la meccanica quantistica. In questo quadro rientra anche una sommaria trattazione delle equazioni differenziali nel campo complesso, ove possibile con applicazioni all'equazione di Schrödinger. La teoria spettrale negli spazi di Hilbert viene affrontata senza mirare ad una trattazione esaustiva.
Programma esteso
Richiami sui campi numerici.
Analisi complessa. Nozioni di base sulle funzioni analitiche.
Singolarità, residui, sviluppi in serie, prolungamento analitico, integrali definiti.
Varietà lineari, dipendenza e indipendenza lineare, dimensione.
Spazi vettoriali astratti.
Spazi reali e complessi. Isomorfismo.
Prodotto scalare. Ortogonalità.
Spazi metrici. Cenni di topologia.
Basi, sistemi ortogonali, ortogonalizzazione.
Cambiamento di base.
Funzionali lineari e teorema di Riesz.
Formalismo di Dirac.
Successioni vettoriali e convergenza.
Applicazioni lineari e matrici.
Nozione di operatore lineare astratto.
Rappresentazione di operatori.
Diagonalizzazione.
Operatore aggiunto.
Autovalori e autovettori.
Operatori hermitiani, unitari, normali.
Sistema completo di operatori hermitiani.
Proiettori.
Risolvente e spettro.
Funzioni di operatore.
Alcune disuguaglianze.
Polinomi e funzioni ortogonali.
Approssimazione mediante funzioni. Spazi L1 e L2.
Cenni sulla serie di Fourier. Trasformata di Fourier.
Equazioni differenziali complesse.
Funzioni speciali.
Applicazioni all'equazione di Schroedinger.
Bibliografia
Ci sono molti eccellenti testi sugli argomenti del corso. Una lista (non esaustiva) comprende
V. Smirnov, Corso di Matematica superiore, vol.III,2 (MIR)
E. Onofri, Teoria degli Operatori lineari, http://www.fis.unipr.it/home/enrico.onofri/#Lezioni
F.G.Tricomi, Metodi Matematici della Fisica (Cedam)
M.Spiegel, Variabili Complesse (Schaum, Etas)
E.Kolmogorov, S.Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e dell'analisi funzionale (ER)
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni in aula (con il coinvolgimento degli studenti). Saranno anche assegnati problemi da svolgere a casa durante tutto il corso dell'anno. Questi esercizi saranno per lo più assegnati nella modalità COMPITO di ELLY.
Modalità verifica apprendimento
Ci sarà una prova scritta intermedia nella sessione di esami invernale, che concorrerà alla formazione del voto finale.
Prova finale scritta ed orale.
La prova scritta consiste in esercizi atti a mostrare la destrezza dello studente nel calcolo, su problemi che variano esercizi svolti durante il corso.
La prova orale consiste nella discussione di argomenti fondamentali del corso, che consentano di verificare se lo studente ne ha una sicura padronanza metodologica e concettuale. La prova orale avrà come punto di partenza la trattazione di due temi: uno assegnato dal docente assegnati con qualche giorno di anticipo (sulla scorta del risultato della prova scritta) e uno scelto dallo studente.
Altre informazioni
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