Obiettivi formativi
Il corso fornisce una panoramica sugli spazi di Sobolev con applicazioni allo studio delle equazioni alle derivate parziali lineari ellittiche del secondo ordine negli spazi $L^p$ (p\in (1,+oo)) e negli spazi di funzioni Hoelderiane e limitate. Verranno presentati anche i risultati principali sugli operatori compatti.
Prerequisiti
Calcolo differenziale per funzioni di una e piu' variabili reali. Algebra lineare. Topologia.
Teoria della misura ed integrazione. Analisi funzionale lineare.
Contenuti dell'insegnamento
Richiami sugli spazi L^p.
Derivate deboli e spazi W^{k,p}.
Caratterizzazioni degli spazi W^{k,p}. Il concetto di traccia al bordo. Formulazione variazionale di un problema ellittico con condizioni al bordo. Il lemma di Lax e Milgram. Regolarizzazione delle soluzioni deboli. Operatori compatti. I teoremi di interpolazione di Riesz-Thorin e Marcinkiewicz. Potenziali di Riesz. Il metodo di continuità. Equazioni ellittiche in L^p e negli spazi di funzioni hoelderiane limitate.
Programma esteso
Richiami sugli spazi L^p.
Derivate deboli e spazi W^{k,p}.
Caratterizzazioni degli spazi W^{k,p}. Il concetto di traccia al bordo. Formulazione variazionale di un problema ellittico con condizioni al bordo. Il lemma di Lax e Milgram. Regolarizzazione delle soluzioni deboli. Operatori compatti. I teoremi di interpolazione di Riesz-Thorin e Marcinkiewicz. Potenziali di Riesz. Il metodo di continuità. Equazioni ellittiche in L^p e negli spazi di funzioni hoelderiane limitate.
Bibliografia
H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer Verlag 2011.
Dispense a cura del docente.
L.C. Evans, Partial differential equations, 2nd Edition, American Mathematical Society 2010.
D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, 2nd Edition, Springer Verlag 1983.
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene attraverso la
una prova orale in cui verrà valutata
la conoscenza e la padronanza dei risultati astratti presentati nel corso, le loro dimostrazioni.
Altre informazioni
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